Nel bandoneon (come nella fisarmonica, nell’armonium o nell’armonica a bocca) si utilizza la cosiddetta ancia libera: una sottile lamella metallica che oscilla dentro una fessura praticata in una piastra senza mai toccarne i bordi. L’ancia è fissata alla piastra ad una estremità con un rivetto, libera dall’altro. È lo stesso modello fisico di un trampolino, della lama di un diapason, o del dente di un pettine di un carillon.
Azionando il mantice dello strumento si genera una differenza di pressione tra i due lati della lamella, che a sua volta produce un flusso d’aria attraverso la fessura della piastra. La forza che questo flusso esercita sull’ancia la mette in vibrazione, modulando il flusso d’aria che attraversa la fessura della piastra e generando un suono la cui frequenza corrisponde a quella della vibrazione dell’ancia.
Il modello meccanico e la formula della frequenza fondamentale
Semplificando la geometria dell’ancia, la frequenza fondamentale di vibrazione flessionale si può scrivere, in una forma semplificata molto usata proprio per le ance musicali, così:
dove:
- L = lunghezza libera della lamella (dal punto di incastro alla punta)
- H = spessore della lamella (misurato nella direzione in cui vibra)
- E = modulo di elasticità (modulo di Young) del materiale.
- ρ = densità del materiale
Il termine C è una costante numerica il cui valore deriva dalla particolare geometria della lamella.
Il modulo di Young E è una grandezza che, in condizioni di deformazione elastica, quantifica il rapporto tra la tensione applicata al materiale e la conseguente deformazione, ed ha la stessa unità di misura di una pressione. In pratica è una misura della “rigidità” di un particolare materiale nell’opporsi a una deformazione meccanica, in condizioni elastiche ovvero nei limiti in cui il materiale è in grado di ritornare spontaneamente alla forma originale dopo la deformazione. E’ il caso di un’ancia che vibra senza subire deformazioni permanenti.
Un semplice calcolo dimensionale dimostra che il termine ha le unità di misura di una velocità.
Cosa conta davvero, e cosa (a sorpresa) non conta
Da questa formula si leggono subito le dipendenze fisiche:
- La lunghezza L è il fattore più potente: la frequenza scala come 1/L². Dimezzare la lunghezza libera di un’ancia ne quadruplica (circa) la frequenza. Tra l’altro questo permette, considerando tutte le voci dello strumento, una estensione molto ampia in frequenza (circa da 65 a 2200 Hz) mantenendo una variabilità molto più ridotta nella lunghezza delle ance (circa da 11 a 40 mm), con evidenti vantaggi pratici.
- Lo spessore H entra in modo lineare: un’ancia più spessa vibra più in fretta, a parità di lunghezza. Nel bandoneon le ance hanno tutte lo stesso spessore di base (circa 0,5 mm), sicuramente una valore che risulta dal giusto compromesso tra le varie esigenze di praticità costruttiva, risposta acustica, stabilità strutturale
- La larghezza W della lamella, sorprendentemente, non compare affatto nella formula. In teoria pura, un’ancia larga il doppio ma con stessa L e H suona alla stessa frequenza — la larghezza incide invece su altri aspetti: rigidità torsionale, robustezza meccanica, ampiezza di vibrazione possibile, e sull’accoppiamento con il flusso d’aria (quindi timbro e risposta), ma non sull’intonazione di base. Nel bandoneon la larghezza delle ance varia tra 2 mm scarsi per le ance più acute (e quindi più corte) fino a circa 4,5mm per le ance più gravi.
- il termine ha le unità di misura di una velocità. Per ottenere suoni ad alta frequenza serve un materiale con un alto modulo di elasticità e densità relativamente bassa. I metalli hanno densità piuttosto simili, la differenza quindi si gioca sulla elasticità. Nella pratica liutaria si traduce in una scelta quasi obbligata: acciaio armonico (acciaio da molle, temprato). Ad esempio a confronto con l’ottone, che ha densità molto simile, l’acciaio armonico ha un modulo di Young doppio. A parità di L e H, l’acciaio vibra quindi circa il 40% più in fretta dell’ottone: per raggiungere la stessa nota, un’ancia in ottone dovrebbe essere più corta o più spessa, con effetti collaterali su timbro, risposta dinamica, complicazioni costruttive.
Questo semplice modello matematico fornisce una buona approssimazione per la frequenza fondamentale di vibrazione delle ance.
Nella realtà sono presenti dettagli costruttivi che definiscono la frequenza esatta, in particolar modo il profilo dell’ancia che può essere assottigliata al centro oppure in punta.
Il dettaglio del profilo contribuisce a stabilire a che punto lungo la sua lunghezza l’ancia inizia a flettersi, definendo quindi una “lunghezza efficace” che misura quanta parte dell’ancia realmente vibra. Inoltre la profilazione rende la distribuzione della massa lungo la lamella non uniforme, alterando anche qui la frequenza di vibrazione.
Nel caso estremo delle note molto gravi, si può abbassare sensibilmente la frequenza di vibrazione aggiungendo del materiale pesante (ad esempio piombo) alla punta della lamella.
